Voir la source de Nombre d'or

L'[https://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_d%27or article wikipedia sur le Nombre d'Or] étant déjà jugé comme un bon article, pour éviter de réinventer la roue, il est déjà possible de se référer à cet article.

Le nombre d'or est aussi fréquemment appelé du nom de la lettre grecque Phi, Φ, φ, 𝜑 

== Définition ==
[[Fichier:Golden ratio line2.svg|vignette]]
Le nombre d'or est une proportion, définie initialement en géométrie comme l'unique rapport a/b entre deux longueurs a et b telles que le rapport de la somme a + b des deux longueurs sur la plus grande (a) soit égal à celui de la plus grande (a) sur la plus petite (b).

C'est à dire lorsque (a+b)/a = a/b

Voici la même définition avec d'autres mots: Trois points alignés, déterminant deux segments forment une section dorée (un rapport égal à Phi), s'il y a de la petite partie à la grande, le même rapport que de la grande au tout.

Le nombre d'or est le seul rapport qui met en résonance la partie avec le tout. On peut donc le voir comme étant une résonance (fractale) entre la créature et son créateur.

C'est pour cette raison que ce rapport est souvent appelé: La divine proportion.


== Valeur du nombre d'or ==
[[Fichier:Rectangles d or.svg|vignette]]
Ce nombre irrationnel est l'unique solution positive de l'équation x^2 = x + 1. Il vaut exactement (1+√5)/2

Soit environ 1.6180339887

Une [https://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_irrationnel nombre irrationnel] est un nombre qu'il n'est pas possible de réduire en ratio. Soit en fraction. Contrairement à π, phi n'est pas un [https://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_transcendant nombre transcendant] (un nombre transcendant n'est racine d'aucune équation polynomiale) 

φ  = (1 + √5)/2 = 1/2 + √5/2 ≈ 1.61803398875



== Équations remarquables ==

On peut déduire plusieurs particularités de cette équation:

φ² = φ + 1 ≈ 2.6180339887

1/φ = φ - 1 ≈ 0.6180339887

√5 = φ + 1/φ ≈ 1.6180339887 + 0.6180339887 ≈ 2.236067977 

== Progression géométrique et arithmétique ==

Grâce aux équations remarquable ci-dessus, le nombre d'or est certainement le seul nombre pour lequel on peut faire coïncider une progression géométrique et une progression arithmétique.

{| class="wikitable"
|+ Progression 
|-
! x<sup>-3</sup> !! x<sup>-2</sup> !! x<sup>-1</sup> !! 0 !! x<sup>1</sup> !! x<sup>2</sup> !! x<sup>3</sup>
|-
| 1/φ<sup>3</sup>  || 1/φ²  || 1/φ || 1 || φ  || φ² || φ<sup>3</sup>
|-
| 0.235 || 0.382 || 0.618 || 1 || 1.618 || 2.618 || 4.236
|}

La progression géométrique s'obtient en augmentant la puissance (comme sur l'exemple théorique de la première ligne. La deuxième ligne montrant concrètement ce que ça donne dans le cas de Phi) Le résultat approché est indiqué en notation à virgule sur la troisième ligne.

La progression arithmétique s'obtient en additionnant deux nombres successifs de la suite pour trouver le suivant.

Par exemple: 0.618 + 1 = 1.618 => 1.618 + 1 = 2.618 ... etc.

Attention, sur la 3ème ligne se sont des valeurs approchées, l'exemple d'addition marche bien, car c'est le moment de la suite où le chiffre 1 intervient et qu'il est donc facile de l'additionner. Pour les autres il faut utiliser la valeur exacte. 

== Suite de Fibonacci ==

[[Fichier:Fibonacci spiral 34.svg|vignette]]

La suite de Fibonacci a été découverte par Léonardo Fibonacci en étudiant la croissance des générations de lapins.

La suite de Fibonacci est une suite d'entiers dans laquelle chaque terme est la somme des deux termes qui le précèdent. Elle commence généralement par les termes 0 et 1 (parfois 1 et 1) et ses premiers termes sont: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, etc.

Les quotients de deux termes consécutifs de la suite de Fibonacci sont les meilleures approximations du nombre d'or.
0 	1 	1 	2 	3 	5 	8 	13 	21 	34 	55 	89 	144 	233 	377 	610 	987 	1597 	2584 	4181 	6765 	10946 	17711 	…

C'est à partir du quotient de 144/89 que l'approximation atteint la précision qui est couramment utilisée du nombre d'or.

144/89 = 1.617977

La nature utilise fréquemment la suite de fibonacci comme base de construction. (pétale, pomme de pin, etc..) On appelle ceci de la phyllotaxie.


== Angle d'or ==
[[Fichier:Golden Angle.svg|vignette]]
L'angle d'or est similaire, mais pour un angle. On retrouve ceci pour le positionnement des feuilles sur la tige de nombreuses plantes. L'avantage est d'utiliser l'irrationalité du nombre d'or. Si je pose une feuille à chaque rotation de l'angle d'or je ne vais jamais retomber exactement au dessus d'une autre feuille. Ainsi je maximise le captage solaire. (si j'utilise des fractions entières ça ne marche pas. Par exemple si je tourne d'un quart de tour.. je vais retomber sur la même feuille chaque 4 feuilles.)

L'angle d'or vaut: 137,51°. (et son complément 222,49°)

On retombe ainsi sur le fameux [[nombre 137]].

L'alignement central [https://fr.wikipedia.org/wiki/Alignement_de_Clendy des menhirs de Clendy] a un azimut de 222° ... C'est la marque que les bâtisseurs de mégalithes utilisaient ces propriétés de [[géométrie sacrée]].

== Voir aussi ==
[[Fichier:Measurements of the hand.svg|vignette]]
* Le nombre d'or est la base du système de la [[Quine des bâtisseurs]] de cathédrale qui relie par raison dorée, la paume, palme, empan, le pied, la [[Coudée royale égyptienne|coudée]].
* https://martouf.ch/2018/07/le-nombre-dor-base-systeme-unite-mesure/
* https://martouf.ch/2019/11/quest-ce-que-la-geometrie-sacree-introduction/

<youtube>https://www.youtube.com/watch?v=SQI7UAQxRbY</youtube>
On y parle de pyramide... du vortex de notre Dame de Paris...

== Constantes de base de notre univers ==

* Charge élémentaire: e = 1,602 176 634 × 10−19 A s 
* Longueur de Planck: Lp = 1,616 255(18) ×1 0^-35 m
* Proportion dorée : φ =  1.6180339887 ....

Qu'est-ce qui est similaire ?

Moi je vois le nombre d'or fortement approché dans ces constantes fondamentales !
La charge élémentaire est la plus petite charge électrique possible. C'est celle d'un électron.
La longueur de planck est la plus petite longueur possible. C'est le pixel de notre univers !

Je n'explique pas toutes ces coïncidence, mais c'est troublant quand même !

Certains diront que les valeurs ne sont pas exactes. Mais si on a bien compris que la construction se fait par approximation successives d'entiers, via la suite de Fibonacci, alors c'est une valeur très précise !




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[[Catégorie:Géométrie]]