Sunrise/Sunset Algorithm Example

Source:
Almanac for Computers, 1990
published by Nautical Almanac Office
United States Naval Observatory
Washington, DC 20392

Inputs:
day, month, year: date of sunrise/sunset
latitude, longitude: location for sunrise/sunset
zenith: Sun's zenith for sunrise/sunset
offical = 90 degrees 50'
civil = 96 degrees
nautical = 102 degrees
astronomical = 108 degrees

NOTE: longitude is positive for East and negative for West

Worked example (from book):
June 25, 1990: 25, 6, 1990
Wayne, NJ: 40.9, -74.3
Office zenith: 90 50' cos(zenith) = -0.01454

1. first calculate the day of the year

   N1 = floor(275 month / 9)
   N2 = floor((month + 9) / 12)
   N3 = (1 + floor((year - 4 floor(year / 4) + 2) / 3))
   N = N1 - (N2 * N3) + day - 30

   Example:
   N1 = 183
   N2 = 1
   N3 = 1 + floor((1990 - 4 * 497 + 2) / 3)
   = 1 + floor((1990 - 1988 + 2) / 3)
   = 1 + floor((1990 - 1988 + 2) / 3)
   = 1 + floor(4 / 3)
   = 2
   N = 183 - 2 + 25 - 30 = 176

2. convert the longitude to hour value and calculate an approximate time

   lngHour = longitude / 15

   if rising time is desired:
   t = N + ((6 - lngHour) / 24)
   if setting time is desired:
   t = N + ((18 - lngHour) / 24)

   Example:
   lngHour = -74.3 / 15 = -4.953
   t = 176 + ((6 - -4.953) / 24)
   = 176.456

3. calculate the Sun's mean anomaly

   M = (0.9856 * t) - 3.289

   Example:
   M = (0.9856 * 176.456) - 3.289
   = 170.626

4. calculate the Sun's true longitude
   [Note throughout the arguments of the trig functions
   (sin, tan) are in degrees. It will likely be necessary to
   convert to radians. eg sin(170.626 deg) =sin(170.626*pi/180
   radians)=0.16287]

   L = M + (1.916 sin(M)) + (0.020 sin(2 * M)) + 282.634
   NOTE: L potentially needs to be adjusted into the range [0,360) by adding/subtracting 360

   Example:
   L = 170.626 + (1.916 sin(170.626)) + (0.020 sin(2 170.626)) + 282.634
   = 170.626 + (1.916 0.16287) + (0.020 * -0.32141) + 282.634
   = 170.626 + 0.31206 + -0.0064282 + 282.634
   = 453.566 - 360
   = 93.566

5a. calculate the Sun's right ascension

RA = atan(0.91764 * tan(L))
NOTE: RA potentially needs to be adjusted into the range [0,360) by adding/subtracting 360

Example:
RA = atan(0.91764 * -16.046)
   = atan(0.91764 * -16.046)
   = atan(-14.722)
   = -86.11412

5b. right ascension value needs to be in the same quadrant as L

Lquadrant  = (floor( L/90)) * 90
RAquadrant = (floor(RA/90)) * 90
RA = RA + (Lquadrant - RAquadrant)

Example:
Lquadrant  = (floor(93.566/90)) * 90
           = 90
RAquadrant = (floor(-86.11412/90)) * 90
           = -90
RA = -86.11412 + (90 - -90)
   = -86.11412 + 180
   = 93.886

5c. right ascension value needs to be converted into hours

RA = RA / 15

Example:
RA = 93.886 / 15
   = 6.259

6. calculate the Sun's declination

   sinDec = 0.39782 * sin(L)
   cosDec = cos(asin(sinDec))

   Example:
   sinDec = 0.39782 sin(93.566)
   = 0.39782 0.99806
   = 0.39705
   cosDec = cos(asin(0.39705))
   = cos(asin(0.39705))
   = cos(23.394)
   = 0.91780

7a. calculate the Sun's local hour angle

cosH = (cos(zenith) - (sinDec * sin(latitude))) / (cosDec * cos(latitude))

if (cosH >  1) 
  the sun never rises on this location (on the specified date)
if (cosH < -1)
  the sun never sets on this location (on the specified date)

Example:
cosH = (-0.01454 - (0.39705 * sin(40.9))) / (0.91780 * cos(40.9))
     = (-0.01454 - (0.39705 * 0.65474)) / (0.91780 * 0.75585)
     = (-0.01454 - 0.25996) / 0.69372
     = -0.2745 / 0.69372
     = -0.39570

7b. finish calculating H and convert into hours

if if rising time is desired:
  H = 360 - acos(cosH)
if setting time is desired:
  H = acos(cosH)

H = H / 15

Example:
H = 360 - acos(-0.39570)
  = 360 - 113.310   [ note result of acos converted to degrees]
  = 246.690
H = 246.690 / 15
  = 16.446

8. calculate local mean time of rising/setting

   T = H + RA - (0.06571 * t) - 6.622

   Example:
   T = 16.446 + 6.259 - (0.06571 * 176.456) - 6.622
   = 16.446 + 6.259 - 11.595 - 6.622
   = 4.488

9. adjust back to UTC

   UT = T - lngHour
   NOTE: UT potentially needs to be adjusted into the range [0,24) by adding/subtracting 24

   Example:
   UT = 4.488 - -4.953
   = 9.441
   = 9h 26m

10. convert UT value to local time zone of latitude/longitude

    localT = UT + localOffset

    Example:
    localT = 9h 26m + -4
    = 5h 26m
    = 5:26 am EDT

Une implémentation de cet algorithme:
https://fr.planetcalc.com/300/

Je pensais l’expliquer en donnant la formule de conversion du taux mensuel en taux annuel
Taux annuel en pourcentage=((1+ taux mensuel en pourcentage/ 100)^12 – 1)⋅100

Mais ton explication est vraiment plus simple, d’autant qu’on leurs sert assez de formules…

Si on doit l’expliquer rapidement à une personne qui dois revoir ses math, on peux même éviter les « x » :

Un taux annuel de 10% sur 100€ donne 110€ au bout d’une année.

Un taux semestriel de 4,88% sur 100€ donne 104,88€ après 6 mois

et 109,9981, arrondi à 110€ au bout de l’année.

7min48: Delambre dans une carnet de Méchain: "Je n'ai dit au public que ce qu'il importe de savoir. J'ai supprimé tout détail qui n'aurait été bon qu'à diminuer la confiance à une opération importante et qu'on aura pas l'occasion de vérifier. J'ai tu soigneusement tout ce qui aurait pu altérer le moins du monde que l'on avait justement de la précision que monsieur Méchain métait dans tout ces calculs et observation."
Ce qui a été supprimé se trouve dans des lettres.

Mesure de triangles des pyrénnées jusqu'à Barcelone.
1792 mesures de la latitude. Puis révision de 10 000 mesures.
La guerre éclate. Il est coincé. Une pompe le blesse.
Il refait ses mesures de la latitude pendant sa convalescence.
=> Horreur: les deux séries de mesures sont différentes ?
=> Méchain supprima la seconde série de données.... en secret.
=> Méchain est torturé par ces erreurs. Il devient suicidaire et s'enferme dans un monastère abandonné de la montagne noire. Il refuse de finir son travail sans explication.
=> Mme Méchain va rechercher son mari dans son monastère.

depuis 1750 la Terre est décrite comme un ellipsoïde aplatie aux pôles.
Les "erreurs" de mesure de Méchain sur le méridien Dunkerque Barcelone prouvent que chaque méridien est unique.
=> conséquence il n'est pas possible d'extrapoler le 1/4 du méridien à partir des 9.5° entre Dunkerque et Barcelone. Le principe même de cette mission est invalidé !
=> Donc les savants réuni à Paris durent utiliser des données obtenues 60 ans auparavant par La Condamine lors de son expédition à Quito.
Ces deux désaccord ont rendu l'étalon de platine moins précis que l'étalon provisoir, par un écarte de 0.2mm. Bien que les savant n'en savaient rien.
1803 Méchain retourne à Barcelone pour refaire ses mesures, il veut passer par dessus ses anciennes mesures et aller jusqu'au Baléars. Mais il meurt de la malaria en 1804. Et c'est seulement alors que ses notes parviennent à Delambre.
=> C'est là que Delambre a du faire des choix.
=> Comment distinguer une erreur de mesure d'une modification de la figure de la Terre ?
=> 1805 Legendre propose technique de minimiser les carrés. Gauss et Laplace reprennent cette idée et en font les bases des statistiques moderne.
=> 1810 Delambre publie sont travail final.

En effet, au lever et au coucher du soleil aux solstices, l'angle formé par l'une des diagonales du rectangle solsticial avec la direction sud-nord peut être déterminé à partir de la formule suivante (voir la position sur la sphère céleste):

cos a = - sin(δ)/cos(φ)

Où δ = ±23,5° aux solstices, soit:

a = arccos [sin(23,5°)/cos(51,2°)] = 50,5°

Il s'ensuit que les deux axes solsticiaux font un angle de 2×(90°-50,5°) = 79°.

Au lever et au coucher du soleil aux solstices, l'angle formé par l'une des diagonales du rectangle solsticial avec la direction sud-nord peut être déterminé à partir de la formule suivante (voir la position sur la sphère céleste):

cos a = - sin(δ)/cos(φ)

Où δ représente la valeur de l'écliptique ou de l'angle formé par l'orbite du mouvement annuel de la terre autour du soleil avec l'équateur terrestre. À l'époque actuelle, δ = ±23,5° aux solstices et

a = arccos [sin(23,5°)/cos(51,3°)] = 50,4°

Il s'ensuit que les deux diagonales du rectangle solsticial font un angle de 2×(90°-50,4°) = 79,2°.

L'écart entre les données de l'Âge de Bronze et actuel s'explique en partie par les variations de l'angle δ à travers les Âges.

2 retour Sachant que le rayon r du disque est approximativement 16 cm, la longueur moyenne p de l'arc séparant deux trous est donnée par:

p = 2πr/39 = 2π×16/39 = 2,58 (hypothèse 39 trous).

p = 2πr/40 = 2π×16/40 = 2,51 (hypothèse 40 trous);

Ces valeurs sont très voisines de l'unité de mesure du pouce actuel (2,54 cm).

3 retour Voyons, en effet, comment les autres dimensions du disque s'expriment dans cette unité de mesure.

Commençons par la longueur C de l'arc d'or latéral vu sous un angle α de 82°:

C = rα = 2πr×82/360;

Et

C/p = 39×82/360 = 8,9 (hypothèse 39 trous).

C/p = 40×82/360 = 9,1 (hypothèse 40 trous);

Autrement dit, l'arc d'or latéral mesure environ 9 pouces.

Poursuivons avec l'arc d'or tourné vers les Pléiades et de rayon r/2:

U = πr×145/360

Et

U/p = (145/360)×(39/2) = 7,9 (hypothèse 39 trous).

U/p = (145/360)×(40/2) = 8,1 (hypothèse 40 trous);

C'est-à-dire que la longueur l'arc d'or tourné vers les Pléiades avoisine les 8 pouces.

La conversion des coordonnées horizontales en coordonnées équatoriales et inversement peut être dérivée des propriétés du triangle sphérique ZNS délimité par le Zénith, le Pôle Nord et le Soleil.

Les angles et côtés du triangle sphérique, mesurés respectivement à la surface et au centre de la sphère céleste, sont donnés par:

ang S = ?; ZN = 90°-φ
ang Z= 180°-a; NS = 90°-δ
ang N = τ; ZS = 90°-h

Nous obtenons, à partir de la géométrie sphérique les trois formules essentielles suivantes:

sin(ang Z)×sin(ZS) = sin(ang N)×sin(NS)
sin(180°-a)×sin(90°-h)=sin(τ)×sin(90°-δ)
sin(a)×cos(h) = sin(τ)×cos(δ)    (1)
cos(ZS) = cos(ZN)×cos(NS)+sin(ZN)×sin(NS)×cos(ang N)
cos(90°-h) = cos(90°-φ)×cos(90°-δ)+sin(90°-φ)×sin(90°-δ)×cos(τ)
sin(h) = sin(φ)×sin(δ)+cos(φ)×cos(δ)×cos(τ)    (2)
cos(NS) = cos(ZN)×cos(ZS)+sin(ZN)×sin(ZS)×cos(ang Z)
cos(90°- δ) = cos(90°-φ)×cos(90°-h)+sin(90°-φ)×sin(90°-h)×cos(180°-a)
sin(δ) = sin(φ)×sin(h)-cos(φ)×cos(h)×cos(a)    (3)

L'article suivant rappelle les calculs de base pour la détermination de la position des astres sur la sphère céleste. Ces éléments permettent, en particulier, d'évaluer les dimensions du rectangle “solsticial”, un rectangle joignant les positions du Soleil levant et couchant aux solstices et jouant un rôle essentiel dans les traditions orientées vers le l'est comme les formes celtique, biblique, romaine et chrétienne.

Conformément à la description de la sphère céleste, la position de l'observateur sur Terre est déterminée par la latitude φ (phi). Il sera en mesure d'identifier la position des étoiles et autres astres sur la sphère céleste à partir de deux systèmes de coordonnées se rapportant soit à l'horizon soit à l'équateur.
Coordonnées horizontales

Hauteur h: Distance angulaire au dessus de l'horizon:

0 ≤ h ≤ 90°

Azimut a: Distance angulaire mesurée le long de l'horizon à partir du point sud et en direction de l'est:

0 ≤ a < 360°
Coordonnées équatoriales

Déclinaison δ (delta): Distance angulaire mesurée le long du méridien de l'étoile, en direction du nord ou du sud par rapport à l'équateur:

0 ≤ δ ≤ 90°, au nord de l'équateur;

• 90° ≤ δ < 0, au sud de l'équateur.

Angle horaire τ (tau): Distance angulaire mesurée le long de l'équateur entre le méridien de l'observateur et celui de l'étoile:
0 ≤ τ < 360°

Ces trois formules nous permettent d'exprimer a et h en fonction de δ et τ et inversement. Elles seront utiles pour déterminer la position apparente du Soleil à son lever et coucher ainsi qu'au zénith. Rappelons que le plan de l'écliptique, parcouru par le Soleil dans son mouvement apparent autour de la du Terre, fait un angle de 23,5° avec celui de l'équateur. Il s'ensuit que la déclinaison du Soleil varie entre -23,5° et 23,5°

Au lever et coucher, h = 0, et la dernière formule revêt la simple forme:

sin(δ) = - cos(φ)×cos(a)
cos(a) = - sin(δ)/cos(φ)

En nous limitant aux positions du Soleil aux solstices et aux équinoxes, nous obtenons les résultats suivants:

Azimuth du Soleil levant et couchant
- Au solstice d'été, δ = 23,5° et
  cos(a) = - sin(23,5°)/cos(φ)
- Au solstice d'hiver, δ = - 23,5° et
  cos(a) = sin(23,5°)/cos(φ)
- À l'équinoxe de printemps, δ = 0 et
  a = 90°
- À l'équinoxe d'automne, δ = 0 et
  a = 270°

La figure ci-dessus décrit le “Rectangle solsticial” pour Jérusalem située à la latitude φ = 31,8°.

Le “rectangle solsticial” devient un carré si a = 45° et cos(φ) = sin(23,5°)/cos(45°), c'est-à-dire à la latitude φ = 55,7° correspondant, par exemple, à la pointe nord de l'Irlande.

La base de mon pdf sur les dômes géodésiques