La conversion des coordonnées horizontales en coordonnées équatoriales et inversement peut être dérivée des propriétés du triangle sphérique ZNS délimité par le Zénith, le Pôle Nord et le Soleil.

Les angles et côtés du triangle sphérique, mesurés respectivement à la surface et au centre de la sphère céleste, sont donnés par:

    ang S = ?; ZN = 90°-φ
    ang Z= 180°-a; NS = 90°-δ
    ang N = τ; ZS = 90°-h

Nous obtenons, à partir de la géométrie sphérique les trois formules essentielles suivantes:

    sin(ang Z)×sin(ZS) = sin(ang N)×sin(NS)
    sin(180°-a)×sin(90°-h)=sin(τ)×sin(90°-δ)
    sin(a)×cos(h) = sin(τ)×cos(δ)    (1)
    cos(ZS) = cos(ZN)×cos(NS)+sin(ZN)×sin(NS)×cos(ang N)
    cos(90°-h) = cos(90°-φ)×cos(90°-δ)+sin(90°-φ)×sin(90°-δ)×cos(τ)
    sin(h) = sin(φ)×sin(δ)+cos(φ)×cos(δ)×cos(τ)    (2)
    cos(NS) = cos(ZN)×cos(ZS)+sin(ZN)×sin(ZS)×cos(ang Z)
    cos(90°- δ) = cos(90°-φ)×cos(90°-h)+sin(90°-φ)×sin(90°-h)×cos(180°-a)
    sin(δ) = sin(φ)×sin(h)-cos(φ)×cos(h)×cos(a)    (3)
L'article suivant rappelle les calculs de base pour la détermination de la position des astres sur la sphère céleste. Ces éléments permettent, en particulier, d'évaluer les dimensions du rectangle “solsticial”, un rectangle joignant les positions du Soleil levant et couchant aux solstices et jouant un rôle essentiel dans les traditions orientées vers le l'est comme les formes celtique, biblique, romaine et chrétienne.

Conformément à la description de la sphère céleste, la position de l'observateur sur Terre est déterminée par la latitude φ (phi). Il sera en mesure d'identifier la position des étoiles et autres astres sur la sphère céleste à partir de deux systèmes de coordonnées se rapportant soit à l'horizon soit à l'équateur.
Coordonnées horizontales

Hauteur h: Distance angulaire au dessus de l'horizon:

0 ≤ h ≤ 90°

Azimut a: Distance angulaire mesurée le long de l'horizon à partir du point sud et en direction de l'est:

0 ≤ a < 360°
Coordonnées équatoriales

Déclinaison δ (delta): Distance angulaire mesurée le long du méridien de l'étoile, en direction du nord ou du sud par rapport à l'équateur:

0 ≤ δ ≤ 90°, au nord de l'équateur;

- 90° ≤ δ < 0, au sud de l'équateur.

Angle horaire τ (tau): Distance angulaire mesurée le long de l'équateur entre le méridien de l'observateur et celui de l'étoile:
0 ≤ τ < 360°

Ces trois formules nous permettent d'exprimer a et h en fonction de δ et τ et inversement. Elles seront utiles pour déterminer la position apparente du Soleil à son lever et coucher ainsi qu'au zénith. Rappelons que le plan de l'écliptique, parcouru par le Soleil dans son mouvement apparent autour de la du Terre, fait un angle de 23,5° avec celui de l'équateur. Il s'ensuit que la déclinaison du Soleil varie entre -23,5° et 23,5°

Au lever et coucher, h = 0, et la dernière formule revêt la simple forme:

    sin(δ) = - cos(φ)×cos(a)
    cos(a) = - sin(δ)/cos(φ)

En nous limitant aux positions du Soleil aux solstices et aux équinoxes, nous obtenons les résultats suivants:

    Azimuth du Soleil levant et couchant
    - Au solstice d'été, δ = 23,5° et
      cos(a) = - sin(23,5°)/cos(φ)
    - Au solstice d'hiver, δ = - 23,5° et
      cos(a) = sin(23,5°)/cos(φ)
    - À l'équinoxe de printemps, δ = 0 et
      a = 90°
    - À l'équinoxe d'automne, δ = 0 et
      a = 270°

La figure ci-dessus décrit le “Rectangle solsticial” pour Jérusalem située à la latitude φ = 31,8°.

Le “rectangle solsticial” devient un carré si a = 45° et cos(φ) = sin(23,5°)/cos(45°), c'est-à-dire à la latitude φ = 55,7° correspondant, par exemple, à la pointe nord de l'Irlande.

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